Extremele, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor
19. extremelor locale. O condiție necesară pentru existența extremelor
Se spune că funcția are vovnutrenneytochke oblastiDlokalny maximă (minim) în cazul în care există un okrestnosttochki, pentru fiecare punctcare inegalitatea
Dacă funcția are un punct minim local, maxim local sau, atunci spunem că are în această tochkelokalny extremă (sau doar o valoare extremă).
Teorema (o condiție necesară pentru o existență extremum). Dacă extremum funktsiyadostigaet diferențiabilă în punctul, fiecare din derivata parțială de ordinul întâi a funcțieiîn acest moment este zero.
Punctele în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi punctele staționare sunt dispar numite funcții. Coordonatele acestor puncte pot fi găsite prin rezolvarea unui sistem deecuaţiile
.
O condiție necesară pentru existența unui extremum în cazul unei funcții diferențiabile poate fi formulată pe scurt după cum urmează:
.
Există cazuri în care punctele individuale unele derivate parțiale au valoare infinită sau nu există (în timp ce altele sunt zero). Aceste puncte sunt numite puncte critice ale funcției. Aceste puncte trebuie, de asemenea, să fie considerate ca fiind „suspecte“ pe valoarea extremă statică.
Această funcție a două variabile condiție necesară pentru extremum, și anume derivatele parțiale egale cu zero (diferențial) în punctul extremale este o interpretare geometrică: plan tangent la suprafața în punctul extremale ar trebui să fie paralel cu planul.
20. condiții suficiente pentru existența extremum
Efectuarea la un moment dat condițiile necesare pentru existența extremelor nu garantează prezența acolo de extremă. Ca exemplu putem lua funcția oriunde derivabile . Ambele derivații ei parțiale ale funcției în sine și dispar în punctul. Cu toate acestea, în fiecare cartier al acestui punct este pozitiv (mai mare) Și negative (mai mici) Valorile acestei funcții. Prin urmare, în acest moment, prin definiție, se observă extremum. Prin urmare, este necesar să se cunoască suficient condițiile în care punctul, suspect al extremelor este o extremum a funcției.
Luați în considerare în cazul unei funcții de două variabile. Să presupunem că funcția Acesta este definit, continuă și are o derivate partiale continue până la ordinul al doilea în vecinătatea unui punct, care este un punct staționar al funcției, adică satisface condițiile
,.
Teorema (condiții suficiente pentru existența extremum). Fie funcțiaÎndeplinește condițiile de mai sus, și anume derivabile într-un cartier al unui punct fixși de două ori derivabile în punctul. apoi, dacă
, apoi a studiat la funcția are un extremelor locale,
atunci nu există nici extremelor,
că este nevoie de cercetări suplimentare.
În cazul funcțialaajunge
maximă localăși
un minim local.
În general, suficientă pentru funcția de existență în tochkelokalnogominimuma (maximum) yavlyaetsyapolozhitelnaya (negativ) al doilea certitudine diferențială.
Cu alte cuvinte, cele ce urmează deține.
Teorema. Dacă funcția tochkedlya
pentru orice nu atât de zero , apoi la acest moment funcția imeetminimum (analogichnomaksimum. Dacă).
EXEMPLUL 18.Nayti Punct extremum locale
Decizie. Noi găsim derivatele parțiale ale funcției și care egalează le la zero:
Rezolvarea acestui sistem, vom găsi două puncte ale unei posibile extremum:
Am găsit de ordinul al doilea derivate parțiale ale acestei funcții:
Primul punct de staționare, deci iPoetomu la acest punct, necesită un studiu suplimentar. valoarea funcțieiîn acest moment este zero:în continuare,
În consecință, în fiecare cartier al funcțieEste nevoie ca valori mari, și mai mici, și, prin urmare, la punctulfuncție, prin definiție, nu are extremelor locale.
În al doilea punct fix în consecință, prin urmare, cala punctulFuncția are un maxim local:
.