Integrarea diferențelor de binomiale
Exemple. Binom numit tip diferențial.
,
în cazul în care a, b - orice parametri m, n, p - numere raționale. Să ne aflăm cazurile în care aceste expresii sunt integrate într-o formă finită.
Un astfel de caz este direct clar că dacă p - un număr întreg (pozitiv, zero sau negativ), atunci această expresie este de tip studiat în precedent . Asta este, dacă după denota cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiunilor și , ceea ce avem aici este o expresie a formei , astfel încât este suficient pentru a raționaliza înlocuirea .
Acum ne transformăm această expresie prin substituirea .
și punerea, de dragul conciziei
,
.
dacă - un întreg, vom ajunge din nou la expresia tipului studiat. Într-adevăr, dacă vom nota numitorul , expresia convertit este . Raționalizarea integrandul poate fi realizat dintr-o dată - de substituție
.
În cele din urmă, a doua rescrierea integrală (2), după cum urmează:
.
Este ușor de văzut că, pentru În general, am studiat, de asemenea, cazul: expresia este convertit . Integrandul în această integrală raționalizate și imediat înlocuind
Astfel, atât integral (2) poate fi exprimat într-o formă închisă, dacă întregul este unul dintre numerele
sau (echivalent), unul dintre numerele
.
Aceste cazuri integrabile pe fond, erau încă cunoscute de Newton. Cu toate acestea, numai la mijlocul secolului al XlX-lea, PL Cebîșev a stabilit un fapt remarcabil că și alte cazuri de integrabilitate în termeni finite pentru diferentiale binomiali nu.
1). aici , ,; deoarece
,
atunci avem de-al doilea caz de integrabilitate. Observând că , a pus (ca regulă generală)
, , ;