Notăm proiecții pe axele de coordonate, prin
Obținem - această formulă este vectorul principal și calcularea vectorului nazyvaetsyaRazlozhenie al vectorilor unitare axelor de coordonate. numerele nazyvayutsyakoordinatami vector a.
Proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt numite coordonatele sale. Aceasta este semnificația lor geometrică.
Ecuația vector este uneori scris în formă simbolică .
Cunoscând proiecția vectorului poate găsi cu ușurință lungimea sa, și anume, modul. Pe baza teoremei privind lungimea casetei în diagonală.
Ie vector unitate este rădăcina pătrată a sumei pătratelor proiecțiile pe axele. coordonate.
Lăsați unghiurile vectoriale cu axele de coordonate respectiv . Conform previziunilor de proprietate pentru a avea axul. (*)
colțuri Opr.12Kosinusy care formează un vector de axele de coordonate, nazyvayutsyanapravlyayuschimi kosinusamivektora.
Dacă vectorul este dat în avion, atunci.
Ei au o proprietate remarcabilă:
.
Din formulele (*) implică faptul că coordonatele vectorului unitate sunt cosinusului direcție, adică .
5. Acțiuni asupra vectorilor în formă componente
Pentru orice punct din DSC coordonatele OM-radius-vector sunt coordonatele sale
Dacă la începutul vectorului nu coincide cu originea, dar coordonatele cunoscute ale Start A și punctul final B, coordonatele vectorului Ele reprezintă diferențele de coordonate similare ale punctelor sale de început și de sfârșit.
.
Acest spațiu bidimensional (R2).
În mod similar, în spațiul tridimensional. dacă ,,
În cazul în care coordonatele cunoscute ale vectorului , atunci magnitudinea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor.
.
De cosinusului direcție ale fiecărui vector sunt calculate prin următoarele formule:
.
Dacă vectorii șicoliniare, atunci coordonatele corespunzătoare ale acestora proporțional:.
Opusul este adevărat, și anume, în cazul în care relația, .
§3. spațiu vectorial dimensional N. dependență liniară și independența vectorilor.
N - spațiu vectorial dimensional.
2. dependența lineară și independența vectorilor
3. Baza spațiului vectorial. Extinderea vectorului în baza
spațiu 1.N- vector dimensional
Să presupunem că avem un sistem vectori:
tip Opr.13 .Vyrazhenie :, (3.1) unde-numere reale, nazyvaetsyalineynoy
vectori Opr.14.Sistema nazyvaetsyalineynonezavisimoy dacă o combinație liniară (3.1) este egal cu zero, cu condiția ca toți = 0, adică, . (3.2)
Dacă o combinație liniară (3.1) este egal cu zero, cu condiția ca cel puțin unul dintre numerele , sistemul de vectori (3.1) nazyvaetsyalineyno dependente.
Dacă sistemul conține mai mult de un vector , relația liniară înseamnă că cel puțin unul dintre vectorii sistemului poate fi reprezentat ca o combinație liniară de alte sisteme vectoriale. Într-adevăr, să presupunem că vectoriiliniar dependente și lăsați. Apoi putem împărți în ambele părți (3.2) lacare exprimă vectorulprin alți vectori; și anume o prezintă ca o combinație liniară:
.
În cazul în care toți membrii (3.3) pentru a trece la o parte, constatăm că o combinație liniară este egală cu zero, cu condiția ca coeficientul vectoruluiAcesta este diferit de zero. Acesta este egal cu (-1).
Vyvod.Esli cel puțin unul dintre vectorii este o combinație liniară (de exemplu, exprimat în termeni de celălalt), atunci întregul sistem de vectori este liniar dependent. Condițiile necesare și suficiente pentru dependența liniară a celor doi vectori pe un plan (în prostranstveR2) este coliniaritate lor, și în spațiul tridimensional (R3) - coplanarității lor.
Un sistem format dintr-un vector (R1 spațiu) este dependentă liniar, dacă vectorul este zero, iar dacă aceasta este diferită de zero - adică liniar independent.
În spațiul (Pe o linie) sunt sistem liniar independent nu poate conține mai mult de un vector, adică, Un sistem de două (sau mai multe), vectorii sunt întotdeauna liniar dependente.
În spațiul (În plan) sistem liniar independent nu poate conține mai mult de doi vectori, adică, Orice sistem de trei (sau mai mulți) vectori este liniar dependent.
Dacă există un spațiu liniar vectori liniar independenți, și oricevectori sunt liniar dependente, atunci spațiul se numește finit dimensional dacă spațiul liniar astfel încât există un sistem de număr arbitrar de mare de vectori liniar independenți, acest spațiu se numește infinit.
Numărul maxim posibil de vectori liniar independenți într-un spațiu finit-dimensional este dimensiunea acestui spațiu. În cazul în care dimensiunea spațiului este , este numit- dimensională ().
Opr.15.Sistema vectori liniar independenți- dimensională de spațiu spațiu nazyvaetsyabazisometogo.
Vectorii de bază pot fi descompuse în orice spațiu vectorial, cu un mod unic.
Descompună bază vector vectori - este să se prezinte ca o combinație liniară a vectorilor această bază.
În cazul în care baza este vectori liniar independenți, apoi extinderea oricărui vectorpe această bază este după cum urmează :. (3.4)
Coeficienții acestei extinderi, și anume, Număr nazyvayutsyakoordinatami vector în această bază.
Pentru a găsi aceste numere trebuie să instituie un sistem de- liniar ecuații cu aceste necunoscute, și să o rezolve.
Fiecare ecuație este compus cu formula (3-3) din coordonatele respective ale acestor vectori.
EXEMPLU EXEMPLU Având în vedere vectorii: ;;;.
Arătați că vectorii se descompun și formează un vector bazăpe această bază.
Decizie. vectori formează o bază de spațiu tridimensional, în cazul în care acestea sunt liniar independente, deci trebuie să determinantul coordonatele acestor vectori. Dacă este zero rândul său (și, prin urmare, vectorii) sunt liniar dependente, adică ele nu pot forma o bază, dacă determinantul nu este zero, vectorii sunt liniar independenți și formează o bază.
vector descompus pe baza- acest lucru înseamnă să-l prezinte ca o combinație liniară a acestor vectori:
. (*)
Deoarece vectorul vectorilor de bază obținute prin formula (*), atunci fiecare dintre ei coordonate se obține din coordonatele corespunzătoare ale acestor vectori în aceeași formulă (*).