Integrarea Comunicarea cu diferențierea
Luați în considerare integrala definită a cărei limită inferioară este constantă și superioară a schimbat.
Acordarea de limita superioară a diferitelor valori, vom obține valori diferite ale integralei; în consecință, în aceste condiții integralei unei funcții de limita superioară
,
aici - variabilă de integrare, schimbarea în intervalul .
Teorema 1.Proizvodnaya integralei limita superioară este egală cu integrandul .
Luați în considerare o valoare a primit nenegativ continuă în intervalul funcție. Fix un punctși lăsațiZona trapez curbiliniu cu o bază,(Fig. 9), atunci
.
Dacă variabila este incrementat, modificări(A se vedea. Fig. 9). Geometric clar că
,
unde și- respectiv, valorile minime și maxime ale funcțieiîn intermediară . La urma urmei,- aria unui dreptunghi situată în întregime într-o formă, o zonă desemnată, și- zona unui dreptunghi care conține forma. Noi împărțim toate inegalitatea de increment, atunci.
deoarece funcție continuă în intervalul, este nevoie în acest interval de cel puțin o dată orice valoare situată între cele mai mici și cele mai mari valorile sale, inclusiv valoarea. Vom nota cu punctul în care , .
Să considerăm limita acestei expresii cu condiția ca . Apoi, punctul, și valoareala valoarea funcției. Conform proprietăților vor avea limite:
, .
NOTĂ: Această teoremă arată că integrarea și diferențiere - operațiile inverse.
Nedeterminată integrală
OPREDELENIE.FunktsiyuF (x), care este derivata funcției integrantul se numește primitivă.
Cum de a găsi derivat a fost una dintre principalele sarcini ale calculului diferențial, astfel încât găsirea unui primitiv este unul dintre principalele obiective ale calcul integral.
De exemplu, ia în considerare funcția . Știm că. funcțiefuncţia primitivă.
Dacă găsiți derivatele funcțiilor ,,, unde- o valoare constantă arbitrară, ei sunt toți egali. În consecință, oricare dintre funcțiileEste o funcție primitivă.
Teorema 2. Orice funcție continuă are un număr infinit de primitive, și oricare două dintre ele diferă unul de altul numai printr-un termen constant.
Să presupunem că funcția Ea are o funcție primitivă. Apoi, funcțiala fiecare constantăAcesta va fi, de asemenea primitiv de atunci. Astfel, funcțiaAcesta are un număr infinit de primitive.
funcţia Să și- primitivele pentru o funcție, și anumeși. Apoi. Dar. Prin urmare,.
OPREDELENIE.Sovokupnost toate primitivele pentru integrandul se numește integrala nedefinită.
Integrala nedefinită este, de asemenea, menționată ca fiind specifică, numai fără frontiere, și anume dacă ,
.
șicu această formulă, egalitatea
,
,
.
Funcția primitivă Program Funcția curba nazyvaetsyaintegralnoy .
Din definiția integralei nedefinită ca o pluralitate de primitivelor că familia de curbe integrale pot fi obținute prin translație paralelă a linieivaloareaîn direcția axei Y (Fig. 10).
Tabelul 1 prezintă derivații și primitivele de bază pentru funcțiile elementare.